今回は内積について話をします。

内積というのは、２つベクトルがあって、黒ポチで書かれる量ですね。

内積とは、２つベクトルがあった時に、間の角をとすると、

という量です。
内積のというのはスカラー量なので向きはもっていないですね。

これはどのようなイメージかというと、掛けるというのをイメージすると、これは方向に対するの水平成分です。ですからこの２つのベクトルを考えた時の、２つのベクトルの水平成分を掛け合わせた量が、内積になるわけです。

いちおう参考までに外積の大きさ(外積はベクトル量)というのは、

になります。
なので外積と言ったら、２つのベクトルの垂直成分を掛け合わせたものになります。内積は水平成分を掛け合わせたものです。

これは内積の定義なのですが、物理で出てくる際には、を使って書くとこはあまりなくて、このように成分で書かれますね。

それぞれの角成分同士、成分で掛けて、成分同士で掛けて、成分同士で掛けて、そしてこれらを足し合わせたものが内積です。物理ではこのように成分で書かれます。内積は非常に良く出てくる量なので、覚えておいてほしいと思います。

ベクトルについて話をしようと思います。

ベクトル、英語で書くとvectorですね。英語読みだと「ベクター」で、「ベクトル」はドイツ語読みだったかと思います。

ベクトルとはどういうものかというと、大きさと向きの２つを持っているのがベクトルです。だから一般には矢印でかかれます。矢印の長さが大きさを表し、矢印がどちらを向いているかが向きを表します。

ベクトルはよく、こういう矢印をつけて（ ）書かれたり、太字（）で書かれたりします。ベクトル（vector）のvをとって、ｖで書かれることが多いですね。

このベクトルの成分表示ということがよく行われます。むしろベクトルというと成分表示を思い浮かべることが多いと思います。
ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸をとって、原点からのベクトルをとったときに、ベクトルの大きさを、ｘ方向の大きさが３、ｙ方向の大きさが０で、ｚ方向の大きさが５というように書くのをベクトルの成分表示といいます。

このときそれぞれｘ成分、ｙ成分、ｚ成分といったりします。

この成分表示はよく使われているのですが、気をつけないといけないのは座標系によって成分の値が変わることです。

ベクトル自体は変わっていなくても、たとえばｘｙｚの向きが変わったりすると、ベクトルは同じベクトルでも、成分表示した値が変わることがあります。
となったり。
なので成分表示は座標の取り方によって変わるという点は注意が必要です。

ベクトルの成分を としたときにベクトルの微分は成分ごとに行います。

というベクトルを考えているということになるわけですね。当たり前じゃないかと思うかも知れませんが、大事なことなので説明をしておきました。