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線積分とは３

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線積分のその３ではベクトル場{bf B}(x,y,z)の線積分を考えたいと思います。

ベクトル場の線積分として、よくある形は次のようなベクトル場と微小な経路との内積の線積分です。
int_C {bf B}cdot d{bf s}
内積の積分ですので、線積分の値はスカラー値になります。

もう１つ、たまにあるのが外積の線積分です。
int_C {bf B}times d{bf s}
外積と言うベクトル量の積分ですので、線積分の値はベクトル値になります。

実際に問題演習を行うことで、これらの具体的なイメージをつかむことができると思います。

最後に補足です。これまで積分する微少な長さとして、小文字のsを用いてd{bf s}と書いてきましたが、大文字のSになると今度は微小な面積を表すようになります。またd{bf s}の他にd{bf l}、d{bf r}、d{bf x}などの表記も用いられます。

線積分とは２

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線積分とは、ある経路に沿って積分を行うことでした。
int_C f(x,y)ds

今回はこのdsについて、もう少し詳しく説明したいと思います。積分とは微小なものの足し合わせなのですが、この微小なものを表しているのがdsです。線積分の場合は、経路を細かく分けて行ったときの1区間がdsに対応しています。このように考えると、dsというのは向きを持ったベクトル量であることが分かります。なので本来d{bf s}=(dx,dy)と書ける量なのです。線積分中のdsはこのd{bf s}の大きさを表しており、
ds=|d{bf s}|=sqrt{dx^2+dy^2}
と書くことができます。

線積分とは、経路を区切って行った時に、ある点でのfの値掛けるds足すことの次の点でのfの値掛けるds…とやっていったものです。これはなんら特別なことではなく、普通の積分の時とやっていることは同じなのです。これまで学んできた積分は、x軸に沿った線積分と言い換えることができます。線積分と言うと、もっと一般のグニャグニャ曲がった経路に沿った積分も含まれています。

今回はスカラー値fに関する線積分を説明してきましたが、「線積分とは３」ではベクトル量の線積分について考えていきたいと思います。