レヴィ・チビタの記号

今回はベクトル解析の際に非常に役に立つ”レビ・チビタの記号”というものについて説明します。レビ・チビタというのはイタリアの数学者です。
レビ・チビタの記号は $epsilon$ で書かれます。例えば次のように書かれます。
$epsilon_{ijk}$
この $i$ 、 $j$ 、 $k$ は１、２、３のどれかをとります。

レビ・チビタの記号の性質を挙げていきます。

レビ・チビタ記号は $i$ 、 $j$ 、 $k$ の中に同じものがあれば０になります。例えば
$epsilon_{112}=0$
となります。この場合は $i=j=1$ となっています。同様に $epsilon_{133}=0$ ( $j=k=3$ )などとなります。

定義として
$epsilon_{123}=1$
として、この添字の並びを遇置換(偶数回の置換を行ったもの)して得られるものは1、奇置換(奇数回の置換を行ったもの)して得られたものは-1となります。例えば
$epsilon_{213}=-1$
となります。この場合”213″という並びは、”123″という並びから”1″と”2″を置換を1回行うことで得られるため、レビ・チビタ記号は-1を返します。また $epsilon_{231}=1$
となります。これは”231″という並びは、”213″という並びから”1″と”3″の置換1回、あるいはもとの”123″という並びから数字の置換２回で得られます。そのためレビ・チビタ記号は1を返します。1か-1を瞬時に見極めるには、1から順に右に数字を読んだ時に”123″となれば1、”132″となってしまう時には-1と覚えればよいでしょう。この時は、一番右の数字を読んだ次には一番左の数字に移動します。

レビ・チビタ記号をベクトル解析で使う際には、２つのレビ・チビタ記号を掛けた形のものがよく用いられます。例えば次のような形です。
$epsilon_{ijk}epsilon_{klm}$
ここで縮約のルールで、２度出てきている添字は全ての場合を足し合わせています。つまり
$epsilon_{ijk}epsilon_{klm}=sum_{k=1}^{3}epsilon_{ijk}epsilon_{klm}$
です。この形のレビ・チビタ記号は、実はクロネッカーのデルタ $delta$ を用いて次のように書けてしまいます。
$epsilon_{ijk}epsilon_{klm}=sum_{k=1}^{3}epsilon_{ijk}epsilon_{klm}=delta_{il}delta_{jm}-delta_{im}delta_{jl}$
添字i、jは１つ目の $epsilon$ から、l、mは２つ目の $epsilon$ から来ています。添字の順番は覚えづらいかもしれませんが、これには実際に数字を当てはめて確かめるのが良いでしょう。重要なことは”２つの $epsilon$ =２つの $delta$ の差”という形です。

では実際に添字に数字を当てはめてみましょう。具体例として次のものを考えます。
$epsilon_{12k}epsilon_{k12}$
kについては和をとりますが、レビ・チビタ記号定義より、この項はk=3の時のみ値を持ちます。つまり
$epsilon_{12k}epsilon_{k12}=epsilon_{123}epsilon_{312}$
となります。 $epsilon_{123}$ と $epsilon_{312}$ の形は共に、 $epsilon_{123}$ から添字の遇置換で得られるので値として１をとります。すなわち
$epsilon_{12k}epsilon_{k12}=epsilon_{123}epsilon_{312}=1$
となります。この例から先ほどの式の添字の順番を確かめることができます。今回の場合i=l=1、j=m=2であり、結果が＋１となっていることから、 $delta_{il}delta_{jm}$ の前の符号は＋となり、その逆に $delta_{im}delta_{jl}$ の前の符号はーとなることが確認できます。