写像とは

ここでは写像について話をしようと思います。写像は英語ではmapと呼ばれます。よく $f$ という記号を用いて
$f:A \rightarrow B$
などと書かれます。簡単に行ってしまうと、高校までに習った関数 $f(x)$ を一般化したものが写像です。すなわち”関数”というものよりも広いものになります。高校までに習った関数 $f(x)$ はとる値がスカラー値でした。しかしながら”写像”はより広い場合、例えば、ベクトルが与えられればベクトルを返すような写像、というものを考えることができます。例を考えましょう。

あるベクトルの集合(ベクトル空間) $V$ からベクトル空間 $W$ への写像 $f$ を考えましょう。
$f:V \rightarrow W$
この写像を用いると $V$ の元であるベクトル ${bf v}$ から $W$ の元であるベクトル $f({bf v})={bf w}$ を与えることができます。

ベクトルではなく、ある集合を与えて集合を返す、という写像も考えることができます。例えば、 $U$ というたくさんの集合の集まり、集合の集合から $V$ という集合の集合への写像を考えましょう。
$f:U \rightarrow V$
この写像を用いると $U$ の元である集合 $A$ から $V$ の元である集合 $f(A)=B$ を与えることができます。これは具体的にはどのようなものなのかというと、例えばここで出てきた集合 $A$ をクラスの男子の集合とします。そして彼らの家の集合を $B$ とすると、この写像は”人”と”家”を対応させる住所録のようなものになります。これが集合を与えて集合を返す写像の例です。