今回は縮約というものについて話をします。縮約とは、アインシュタインが一般相対論を構築する際に考え、たただのルールのことです。ルールの内容は、”同じ添字が出てきたら足し合わせる”というものです。つまり、とでてきたら次のように解釈しなさいというルールです。

一般相対論では、このようにベクトルの各成分の積の和を考えることが多いのですが、その度に和の記号を書くのはとても面倒で、見た目がややこしくなってしまいます。縮約のルールはそのような煩雑さを解消するために決められたものです。今考えた例はベクトルとベクトルの内積でしたが、これらの外積も縮約を用いれば簡単に書くことができます。ベクトルとベクトルの外積の第i成分はレビ・チビタの記号ベクトルを用いて次のように書くことができます。

この例では、jとkの両方について1から3までの和をとれ、という意味になります。

慣れないうちはを省略せずに書いても良いと思いますが、縮約を用いれば式がとてもすっきりとします。この縮約のルールは物理の分野では一般的に認識されているものなので、テスト等でを省略して書いても、おそらく大丈夫だと思います。心配であれば、縮約の規則を用いて書く、と一言付け加えておけば大丈夫だと思います。