外積とレヴィ・チビタ記号

今回は、ベクトルの外積 ${bf A}times {bf B}$ を、レビ・チビタの記号を用いて考えてみたいと思います。
まず下準備として、ベクトルの表記を確認しておきましょう。ベクトルを成分で書く際には、よくアルファベットの添字を用いますが、ここでは数字の添字を用います。
${bf A}=(A_1,A_2,A_3)$

外積 ${bf A}times {bf B}$ の第i成分は、レビ・チビタの記号を用いて次のように書くことができます。
$({bf A}times {bf B})_i=sum_{j,k}epsilon_{ijk}A_j B_k$
ここでは ${bf A}times {bf B}$ の第１成分を計算して確かめてみましょう。
$({bf A}times {bf B})_1=sum_{j,k}epsilon_{1jk}A_j B_k$
$epsilon$ が値を持つのはj=2、k=3の場合、あるいはj=3、k=2の場合なので
$({bf A}times {bf B})_1=sum_{j,k}epsilon_{1jk}A_j B_k=epsilon_{123}A_2 B_3+epsilon_{132}A_3 B_2$
となります。レビ・チビタ記号の定義より、 $epsilon_{123}=1$ 、 $epsilon_{132}=-1$ なので最終的に
$({bf A}times {bf B})_1=A_2 B_3-A_3 B_2~(=A_y B_z-A_z By)$
となり、きちんと外積の形になっていることが分かりました。

このようにレビ・チビタ記号を用いて外積を表しておくと、ややこしい計算をとてもすっきりと書くことができます。これを実感してもらうために具体例を考えていきましょう。ベクトル解析では３つのベクトルの外積 ${bf A}times ({bf B} times {bf C})$ を計算することがあるのですが、これを素直にやろうと思うとかなり面倒です。ここでレビ・チビタ記号の出番です。外積 ${bf A}times ({bf B} times {bf C})$ の第i成分をレビ・チビタ記号を用いて書き下してみましょう。
$[{bf A}times ({bf B} times {bf C})]_i=sum_{j,k}epsilon_{ijk}A_j ({bf B}times{bf c})_k=sum_{j,k}epsilon_{ijk}A_j sum_{lm}epsilon_{klm}B_l C_m$
ここで注目するべきは、 $epsilon$ が２つ出てきている点と、その添字kについて和がとられている点です。レビ・チビタ記号のところでやった２つの $epsilon$ の積が２つのクロネッカーの $delta$ の積に入れ変わる公式
$sum_k epsilon_{ijk}epsilon_{klm}=delta_{il}delta_{jm}-delta_{im}delta_{jl}$
を思い出すと
$[{bf A}times ({bf B} times {bf C})]_i=sum_{jlm}(delta_{il}delta_{jm}-delta_{im}delta_{jl})A_j B_l C_m$
と書けることが分かります。あとはクロネッカーの $delta$ の定義に従って計算して行くだけです。
$[{bf A}times ({bf B} times {bf C})]_i=sum_{jlm}(delta_{il}delta_{jm}-delta_{im}delta_{jl})A_j B_l C_m=B_isum_{j}A_jC_j-C_isum_{j}A_jB_j$
第１項目は ${bf A}$ と ${bf C}$ の内積、第２項目は ${bf A}$ と ${bf B}$ の内積を含んでおり、これを内積記号を用いて書くと
$[{bf A}times ({bf B} times {bf C})]_i=B_isum_{j}A_jC_J-C_isum_{j}A_jB_j=[{bf B}({bf A}cdot{bf C})-{bf C}({bf A}cdot{bf C})]_i$
となります。これによってベクトル解析の公式
${bf A}times ({bf B} times {bf C})={bf B}({bf A}cdot{bf C})-{bf C}({bf A}cdot{bf C})$
が導かれます。見た目はややこしいことをやっているように見えましたが、実際に手を動かしてみると、そこまで複雑ではありません。１つ１つ成分でばらして計算するよりは遥かに簡単です。