ここでは保存力について話をします。
保存力というのは、次の式のように書ける力のことです。

ここでというのは場所の関数、空間の各点に値を持つ関数です。”ポテンシャル”とも呼ばれます。”grad”は偏微分なのですが、関数に作用させて次のようになります。

このような形に書ける力を保存力といいます。

保存力の書き方、または”grad”の書き方には様々なものがあって、
または
などとも書かれます。

保存という言葉の意味なのですが、これはエネルギーの保存を表します。ここで逆にエネルギーを保存させない力を考えてみましょう。例えば摩擦力の働いている物体は、運動の過程で運動エネルギーが失われて行ってしまいます。従って物体のエネルギーは保存せず、摩擦力は保存力には該当しません。つまりの形で摩擦力を書くことはできないということです。

ここからは、の形で書ける力の下で、物体のエネルギーが保存するということを示そうと思います。
空間の点からまで、ある粒子が動くとします。にいる時に粒子の持っている運動エネルギーを、の時はとします。”K”は運動エネルギー=kinetic energyの頭文字です。

からに行くまでに粒子が受ける仕事をとすると

となります。これは仕事の定義でもあります。ではこの仕事量を計算しましょう。仕事量は粒子の受ける力の大きさに、その方向に粒子の動いた距離を書けることによって与えられます。すなわち、力とそれに伴う変移との内積で与えられます。今、力によって生じる変移が微小な距離である場合を考えると、この時に粒子なされる仕事量は

と書けます。これをからまで移動する経路に沿って積分したものが、なります。この積分は次のように書かれます。

ここで力が保存力だとすると、保存力の定義から次のように書き換えることができます。

被積分関数のpartial{bf r}とd{bf r}を”約分”することで、これはさらに次のような形に書くことができるようになります。

このような”約分”の操作の正当性は数学的な証明によって保証されます。ここでは詳細には立ち入りません。この結果から

となります。すなわち、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和である”力学的エネルギー”はとにいる時で変わらない、つまり保存しています。これは力が

の形に書けていたからです。

ここで注目すべき点があります。ここで示した結果を見ると、粒子が受ける仕事量はといる時の粒子のポテンシャルエネルギーのみによって決まっており、途中でどのような道筋を辿るかということに依っていません。からへのルートは本来無数にあります。けれども働く力が保存力である場合には、最初の点と最後の点のポテンシャルエネルギーだけによって、その間になされた仕事量が決まってしまうのです。例えば保存力ではない摩擦力が粒子に働いていたとすると、長い道のりを辿るほど、よりたくさんの摩擦力を受けて、粒子の力学的エネルギーは失われて行ってしまいます。

まとめると、保存力の下では
1. 保存力の下では、粒子の力学的エネルギーは保存する。
2. 運動の際になされる仕事は経路に依らない。
となります。